Μαθηματικά και ποδόσφαιρο

apgoal


  1. Τα Μαθηματικά: Εισαγωγικά στοιχεία
      • Ορισμός των Μαθηματικών.

Η λέξη μαθηματικά (mathematics) προέρχεται διεθνώς από την ελληνική γλώσσα και συγκεκριμένα, από τον πληθυντικό του ουδετέρου του επιθέτου μαθηματικός (< μανθάνω: μαθαίνω, αποκτώ γνώσεις, γνώση, παιδεία, εμπειρία). Στην Ελλάδα, η λέξη μαθηματικά κατέληξε να λαμβάνει μια αμιγώς τεχνική σημασία δηλώνοντας τη μελέτη των μαθηματικών με τη σημερινή έννοια του όρου, ήδη από την κλασική εποχή (4ος-5ος αι. π.Χ.). Στα λατινικά και στα αγγλικά γύρω στα 1700, ο όρος mathematics πιο συχνά σήμαινε αστρολογία ή αστρονομία παρά μαθηματικά με τη σύγχρονη έννοια του όρου. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσμα πολλές λανθασμένες μεταφράσεις και παρανοήσεις.[1]

Ο Γαλιλαίος υποστήριξε ότι η μελέτη της φύσης, του φυσικού κόσμου απαιτεί τη γνώση της επιστήμης των μαθηματικών. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρεται στα μαθηματικά ως τη βασίλισσα των επιστημών και ο  Μπέντζαμιν Πιρς ονόμασε τα μαθηματικά την επιστήμη που σχεδιάζει απαραίτητα συμπεράσματα. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ είπε για τα μαθηματικά ότι στηρίζονται σε ένα σύστημα απόλυτης λογικής και δεν υπάρχει σε καμία περίπτωση αυθαιρεσία και υποκειμενικότητα σε αυτήν την επιστήμη. Αντιθέτως, όλα ερμηνεύονται και εξηγούνται με τη λογική και είναι πολύ σταθερά και συγκεκριμένα.  Πιο πρόσφατα ο Μάρκους ντου Σατόυ ονόμασε τα μαθηματικά τη Βασίλισσα των Επιστημών, καθώς αποτελούν την κύρια δύναμη για κάθε επιστημονική αποκάλυψη.[2] Οι ρήσεις των ανωτέρω αναφερόμενων αυθεντιών αποδεικνύουν την τεράστια αξία της επιστήμης των μαθηματικών, τα οποία βρίσκουν εξαιρετική εφαρμογή σε πολλούς κλάδους της επιστήμης, αλλά και της καθημερινότητάς μας, ειδικά στη σημερινή και σύγχρονη περίπλοκα οργανωμένη κοινωνία (βλ. περισσότερα σχετικά κατωτέρω).

1.2 Τα αντικείμενα μελέτης της Μαθηματικής επιστήμης.

Τα μαθηματικά αποτελούν μία από τις αρχαιότερες επιστήμες στον κόσμο. Πιο συγκεκριμένα, τα αντικείμενα μελέτης της επιστήμης των μαθηματικών αποτελούν τα εν ακόλουθα:

  • Η ποσότητα (οι αριθμοί), κλάδος που μελετά κυρίως η άλγεβρα (βλ. κατωτέρω για τις κατηγορίες ή είδη των μαθηματικών)
  • Η δομή (τα γεωμετρικά σχήματα), κλάδος που μελετάται κυρίως από τη γεωμετρία (με γνωστότερη και δημοφιλέστερη την ευκλείδεια γεωμετρία από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη)
  • Τον χώρο
  • Τη μεταβολή και τέλος,
  • Τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων μεγεθών τόσο της πραγματικότητας όσο και της φαντασίας.

Αυτά αποτελούν τα κυριότερο θέματα μελέτης των μαθηματικών.[3]

            Οι μαθηματικοί περιγράφουν τις διάφορες σχέσεις μεταξύ των φυσικών μεγεθών με τύπους και αλγορίθμους και χρησιμοποιούν αξιώματα και θεωρήματα, στα οποία βασίζονται για να αντλήσουν νέα συμπεράσματα. Ερευνούν λοιπόν, αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια ή το ψεύδος τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής. Άλλωστε, τα μαθηματικά αποτελούν ένα αυστηρό σύστημα λογικής. Όπου τίποτε δεν είναι υποκειμενικό και αυθαίρετο (βλ. και ανωτέρω). Η έρευνα που απαιτείται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων μπορεί να πάρει χρόνια ή ακόμα και αιώνες συνεχούς έρευνας. Όταν οι μαθηματικές δομές είναι καλά οργανωμένα και δομημένα μοντέλα των πραγματικών φαινομένων, τότε η μαθηματική λογική μπορεί να παράσχει πληροφορίες ή προβλέψεις για τη φύση. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από τη φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, διότι οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υπο-πεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον συλλογισμό, την ανθρώπινη σκέψη. Υπάρχει επίσης και η άποψη της αισθητικής μελέτης των μαθηματικών, καθώς πολλοί μαθηματικοί μελετούν τα μαθηματικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη. Μέσω της χρήσης της αφαίρεσης και της λογικής σκέψης, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν από την καταμέτρηση, τον υπολογισμό, τη μέτρηση και τη συστηματική μελέτη των σχημάτων και των κινήσεων των φυσικών αντικειμένων. Πρακτικά μαθηματικά ήταν πάντα μια ανθρώπινη δραστηριότητα, όπως άλλωστε δείχνουν και οι αρχαιότερες γραπτές μαρτυρίες που υπάρχουν. Ωστόσο, τα αυστηρά επιχειρήματα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στα ελληνικά μαθηματικά, κυρίως στα Στοιχεία του Ευκλείδη.[4]

  • Η Ιστορία της μαθηματικής επιστήμης.

Η περιοχή μελέτης που είναι γνωστή ως Ιστορία των μαθηματικών είναι πρωτίστως μια έρευνα στις αρχές των ανακαλύψεων στα μαθηματικά και σε μικρότερο βαθμό, μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους και στους μαθηματικούς συμβολισμούς του παρελθόντος. Η μελέτη αυτή προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Έτσι, θεμελιώνεται κυρίως στον κλάδο της άλγεβρας (βλ. κατωτέρω για τους κλάδους των μαθηματικών). Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στο πλαίσιο της γραμμικής άλγεβρας. Πριν από την σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια διάδοση της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως μόνο σε μερικά τοπικά σύνολα. Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις ή και από μετρήσεις εμβαδών, θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Ωστόσο, τις μελέτες και τις μετρήσεις αυτές τις είχαν ξεκινήσει πρώτοι οι λαοί της Ανατολής, Βαβυλώνιοι, Μεσοποτάμιοι, Ασσύριοι, Αιγύπτιοι, των οποίων η συμβολή στη δημιουργία και καλλιέργεια όλων των κλάδων των μαθηματικών είναι αδιαμφισβήτητη. Εξάλλου, τα πιο αρχαία μαθηματικά κείμενα που είναι διαθέσιμα είναι τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά (πινακίδα Plimpton 322, η οποία χρονολογείται στα 1900 π.Χ.), και τα Αιγυπτιακά Μαθηματικά (ο Πάπυρος Μαθηματικών Rhind, ο οποίος χρονολογείται στα 2000-1800 π.Χ. και ο Πάπυρος Μαθηματικών Μόσχας, ο οποίος χρονολογείται στα 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα περιλαμβάνουν το αποκαλούμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα, που φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και διαδεδομένη μαθηματική εξέλιξη μετά τη βασική Αριθμητική και Γεωμετρία. Το έργο του Ευκλείδη πάντως, υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία κύρια μέθοδο της μαθηματικής επιστήμης. Μάλιστα, και οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη που αποτέλεσαν βασικές μεθόδους του Ευκλείδη εισήχθησαν στα μαθηματικά και αποτελούν μέχρι σήμερα βασικά εργαλεία κατάκτησης και εξερεύνησης της μαθηματικής γνώσης. Τέλος, την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας ή πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, στάθηκε η αφορμή να δημιουργηθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι.[5]

Ωστόσο, η μελέτη των μαθηματικών ως ένα αυτοτελές πεδίο άρχισε τον 6ο αιώνα π.Χ. με τη Σχολή των Πυθαγορείων, που πιστώνονται και τον όρο μαθηματικά (βλ. περισσότερα σχετικά με τον όρο αυτόν ανωτέρω). Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί σε μεγάλο βαθμό εξευγένισαν τις μεθόδους κυρίως μέσω της εισαγωγής της επαγωγικής λογικής και της μαθηματικής ακρίβειας στις αποδείξεις και επέκτειναν το πεδίο της ύλης της επιστήμης. Οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν επίσης από νωρίς κάποιες συνεισφορές στο πεδίο των μαθηματικών, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα τοπογραφικής αξιολόγησης. Το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και οι κανόνες χρήσης των πράξεων πιθανώς να αναπτύχθηκε κατά την 1η χιλιετία π.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμικών μαθηματικών. Οι ίδιοι οι ισλαμικοί μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν, επέκτειναν και διέδωσαν τα μαθηματικά. Πολλά ελληνικά και αραβικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, γεγονός που οδήγησε σε παραπέρα ανάπτυξη των Μαθηματικών στη Μεσαιωνική Ευρώπη.[6]

Από την Αρχαία Εποχή και μέσω του Μεσαίωνα, εκρήξεις μαθηματικής δημιουργικότητας συχνά ακολουθήθηκαν από αιώνες στασιμότητας. Με την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εμφανίστηκε μια νέα μαθηματική ανάπτυξη, αλληλοεπιδρώντας με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται ως τις μέρες μας. Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του ολοκληρωτικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς τον 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης. Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία των Συνόλων και η Μαθηματική Λογική. Επίσης, σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και τον 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής (βλ. κατωτέρω περισσότερα σχετικά με τους κλάδους των μαθηματικών).[7]

Αξίζει σε αυτό το σημείο να αναφερθούν κάποιες βιογραφίες σημαντικών μαθηματικών της αρχαιότητας:

Θαλής ο Μιλήσιος:   Διέπρεψε στη γεωμετρία που μάλιστα, θεωρείται και ως ο πατέρας της γεωμετρίας. Ο Θαλής έθεσε τις βάσεις της θεωρητικής γεωμετρίας εισάγοντας για πρώτη φορά  την αποδεικτική διαδικασία, ενώ µμέχρι τότε οι µμαθηματικές ανακαλύψεις  βασίζονται στη διαίσθηση και µόνο. Ο Πρόκλος γράφει χαρακτηριστικά:

  1. Ο κύκλος διχοτομείται από την διάμετρό του. Πολλά από τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας οφείλονται στο Θαλή:
  • Α. η εγγεγραμµένη γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή
  • Β. οι παρά την βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες
  • Γ. 2 κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες
  • ∆. 2 τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν ανά µια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή ίσες.

Θαλής ο Μιλήσιος. Πηγή: https://el.wikipedia.org/wiki/.

 

Πυθαγόρας: Το περίφηµο θεώρηµά του φέρει το όνοµά του. Αγνοούµε την απόδειξη που έδωσε ο ίδιος ενώ γνωρίζουµε ότι αυτή διέφερε από εκείνη του Ευκλείδη. Η ανακάλυψη µερικών πυθαγόρειων τριάδων, δηλαδή ακέραιων αριθµών, που επαληθεύουν την ισότητα του θεωρήµατός του.

Πυθαγόρας. Πηγή: http://filostratos.pblogs.gr/tags/pythagoras-gr.html. 

 

Αρχιμήδης: Μερικές από τις βασικές του αρχές είναι οι εν ακόλουθες:

  • Παρουσίασε µέθοδο προσδιορισµού του άρρητου αριθµού π=3,14159
  • Τελειοποίησε το Ελληνικό σύστηµα αρίθµησης
  • Πρωτοασχολήθηκε µε τη ∆ιαφορική Γεωµετρία
  • Βρήκε τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης των τόξων.[8]

Αρχιμήδης. Πηγή: http://documentarygr.blogspot.gr/2010/07/blog-post_2815.html.

1.4 Βασικοί κλάδοι των Μαθηματικών.

Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία και άλλους πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπου τα μαθηματικά διαδραματίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο, καθώς συμβάλλουν αποφασιστικά στην επίλυση πολλών προβλημάτων και δυσκολιών.[9]

Έτσι, βασικοί κλάδοι των μαθηματικών είναι οι εξής:

  • Άλγεβρα: Μαθηματικός κλάδος που ασχολείται με τη μελέτη της αλγεβρικής δομής και ξεκίνησε από τους αρχαίους πολιτισμούς της Ανατολής. Η ίδια η λέξη άλγεβρα είναι αραβικής προέλευσης, καθώς προέρχεται από τη λέξη Al-Jabr, όπως αναφέρεται σε κείμενο γραμμένο το 820 μ.Χ. από τον Πέρση μαθηματικό του μεσαίωνα, Αλ Χουαρίζμι.[10]
  • Γεωμετρία
  • Μαθηματική ανάλυση
  • Εφαρμοσμένα μαθηματικά
  • Διακριτά μαθηματικά[11]

1.5 Θέμα της εργασίας και στόχοι εκπόνησής της.

Όπως αναφέρθηκε, τα μαθηματικά μπορούν να έχουν βασικές εφαρμογές και να επιλύουν προβλήματα και στην καθημερινή ζωή ειδικά της σημερινής αυτοματοποιημένης κοινωνίας. Έτσι, έχει υποστηριχθεί από πολλούς θετικούς επιστήμονες ότι τα μαθηματικά μπορούν να εφαρμοσθούν ακόμη και στο άθλημα του ποδοσφαίρου για να εξηγήσουν πολλά πράγματα για τη διεξαγωγή του, αλλά και για τον τρόπο επιτυχίας μιας ομάδας.

      Η μελέτη του πώς τα μαθηματικά μπορούν να εφαρμοσθούν σε αυτόν τον τομέα της άθλησης, το δημοφιλές και λαϊκό άθλημα του ποδοσφαίρου, θα αποτελέσει και το θέμα της εργασίας αυτής.

Decimal-Matching-Game

  1. Το Ποδόσφαιρο: Βασικές πληροφορίες για το άθλημα αυτό.

2.1 Βασικοί κανόνες του ποδοσφαίρου.

Το ποδόσφαιρο είναι ένα ομαδικό άθλημα που παίζεται ανάμεσα σε δύο ομάδες των έντεκα παικτών με μία σφαιρική μπάλα. Ο ποδοσφαιρικός αγώνας διεξάγεται σε ένα ορθογώνιο γήπεδο με φυσικό ή τεχνητό χλοοτάπητα πράσινου χρώματος και ένα τέρμα στο μέσο κάθε μιας από τις στενές πλευρές. Σκοπός κάθε ομάδας είναι να οδηγήσει τη μπάλα στο αντίπαλο τέρμα, δηλαδή να βάλει γκολ  ή να σκοράρει, όπως λέγεται στην ειδική ποδοσφαιρική γλώσσα. Οι παίκτες χειρίζονται την μπάλα κυρίως με τα πόδια, αλλά και με τον κορμό ή το κεφάλι, ενώ απαγορεύεται και τιμωρείται η χρήση των χεριών. Η ομάδα που θα επιτύχει τα περισσότερα γκολ ως το τέλος του παιχνιδιού κερδίζει.[12]

Το ποδόσφαιρο είναι σήμερα το πιο δημοφιλές άθλημα στον κόσμο. Στις αρχές του 21ου αιώνα, ασχολούνταν με αυτό περισσότεροι από 250 εκατομμύρια αθλητές σε περισσότερα από 200 κράτη. Το ποδοσφαιρικό παιχνίδι παίζεται σε διάφορα επίπεδα, από φιλικό, με λιγότερους ή περισσότερους από έντεκα παίκτες, παιδιά ή ενήλικες, σε ένα οποιουδήποτε μεγέθους γήπεδο, με δύο τυχαία αντικείμενα για τη σήμανση του τέρματος ή ως επαγγελματικό, με επαγγελματίες ποδοσφαιριστές, αυστηρή τήρηση των κανονισμών και περισσότερους από 100.000 θεατές-οπαδούς να παρακολουθούν σε ειδική ποδοσφαιρική αρένα υψηλών τεχνικών προδιαγραφών.[13] Ανώτατη οργανωτική αρχή του ποδοσφαίρου είναι η FIFA (Fédération Internationale de Football Association), η οποία διεξάγει την κορυφαία ποδοσφαιρική διοργάνωση, το Παγκόσμιο Κύπελλο Ποδοσφαίρου, κάθε τέσσερα χρόνια.[14] 

2.2 Ονοματολογία και Ετυμολογία του Ποδοσφαίρου.

Το όνομα του αθλήματος στα ελληνικά είναι σύνθετη λέξη και προέρχεται από τις λέξεις πόδι και σφαίρα, κατά αναλογία του αγγλικού football. Στην αγγλική γλώσσα, χρησιμοποιήθηκε ο όρος association  football για να γίνεται διάκριση από άλλες μορφές ποδοσφαίρου που διεξάγονταν την εποχή εκείνη και ειδικότερα, από το ράγκμπι (rugby  football). Επίσης, στην αγγλική γλώσσα χρησιμοποιείται ο όρος soccer που δημιουργήθηκε τη δεκαετία του 1880 στην Αγγλία από τη σύντμηση των λέξεων social ceremony (κοινωνική τελετή). Άλλες πηγές αναφέρουν ότι η λέξη soccer προήλθε από συντομογραφία της λέξης association με την προσθήκη της κατάληξης -er, που σχημάτισε αρχικά το assoccer και αργότερα το soccer. Σήμερα, ο όρος football χρησιμοποιείται αντί του όρου association football στην Αγγλία, την ηπειρωτική Ευρώπη και τη Λατινική Αμερική, ενώ ο όρος soccer στον Καναδά και στις ΗΠΑ, καθώς και στην Ιαπωνία. Σε άλλες αγγλόφωνες χώρες, όπως η Αυστραλία και η Νέα Ζηλανδία, χρησιμοποιούνται και οι δύο όροι, ενώ υπάρχουν και τοπικά ονόματα για το άθλημα.[15]

            Η δημοτικότητα και η λαϊκότητα που έχει λάβει το ποδόσφαιρο φαίνεται, μεταξύ άλλων, και στη διαμόρφωση και χρήση του όρου ποδοσφαιροποίηση, καθώς δηλώνει την υποβάθμιση μιας διαδικασίας με την υιοθέτηση μεθόδων και πρακτικών του ποδοσφαίρου (π.χ. ποδοσφαιροποίηση της πολιτικής).[16] Γενικότερα, η δημοτικότητα του ποδοσφαίρου έχει απασχολήσει ιδιαιτέρως τον σύγχρονο κόσμο (βλ. κατωτέρω).

2.3 Η δημοτικότητα του ποδοσφαίρου.

Σήμερα το ποδόσφαιρο παίζεται σε επαγγελματικό επίπεδο παγκοσμίως και έχει κερδίσει εκατομμύρια οπαδών επίσης σε παγκόσμια κλίμακα. Επιπρόσθετα, ένας πολύ μεγάλος αριθμός ανθρώπων παίζουν ποδόσφαιρο σε ερασιτεχνικό επίπεδο (βλ. ανωτέρω περί επαγγελματικού και φιλικού/ερασιτεχνικού ποδοσφαίρου).[17]

Μάλιστα, σε πολλά μέρη του κόσμου οι άνθρωποι παθιάζονται με το ποδόσφαιρο, το οποίο διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην καθημερινή τους  ζωή. Σύμφωνα με την έρευνα Big Count 2006, που δημοσιεύτηκε από τη ΦΙΦΑ στις 31 Μαΐου 2007, με το ποδόσφαιρο ασχολούνται 238,6 εκατομμύρια ποδοσφαιριστές, 26 εκατομμύρια ποδοσφαιρίστριες και περίπου 5 εκατομμύρια διαιτητές, ανεβάζοντας τον αριθμό που ασχολούνται ενεργά με το ποδόσφαιρο στα 270 εκατομμύρια.[18] Η δημοτικότητα του ποδοσφαίρου εκφράζεται με ποσοστά στον ακόλουθο πίνακα:

Πηγή:https://www.theguardian.com/football/2003/oct/09/theknowledge.sport (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

2.4 Ποδοσφαιρικός Πολιτισμός ή Ποδοσφαιρική Κουλτούρα.

Η δημοτικότητα του αθλήματος αυτού όμως, έχει αναπτύξει και ένα είδος ποδοσφαιρικού πολιτισμού ή ποδοσφαιρικής κουλτούρας. Σε πολλές χώρες, το ποδόσφαιρο είναι βαθιά ριζωμένο στη μαζική εθνική κουλτούρα καταλαμβάνοντας κεντρική θέση στην καθημερινότητα μέσω των ΜΜΕ και κυρίως, του Τύπου (εφημερίδες και περιοδικά). Λόγω της δημόσιας προβολής, πολλοί ποδοσφαιριστές γίνονται διάσημοι και λειτουργούν ως πρότυπα για τους φιλάθλους και ειδικά, για τους εφήβους ή τους προσφέρονται και άλλες θέσεις εργασίας και πηγές άντλησης χρημάτων (π.χ. διαφήμιση). Το ποδόσφαιρο έχει επίσης συνδεθεί διαχρονικά με φαινόμενα της πολιτικής[19] και της θρησκείας,[20] καθώς θεωρείται ότι λειτουργεί και αυτό όπως οι άλλες δύο πρακτικές, δηλαδή ως το όπιο του λαού. Τέλος, για το ποδόσφαιρο ή για σημαντικά ποδοσφαιρικά γεγονότα έχουν γραφτεί βιβλία και έχουν δημιουργηθεί ταινίες.

Γενικά, στην ποδοσφαιρική κουλτούρα μπορούν να διακριθούν ζητήματα που σχετίζονται με τους οπαδούς, τους ποδοσφαιριστές ή τις ομάδες. Ειδικά όσον αφορά στη συμπεριφορά των οπαδών, η οποία αποτελεί μια σημαντική διάσταση (ίσως και τη σημαντικότερη) του ποδοσφαιρικού πολιτισμού, οι οπαδοί μιας ομάδας μπορεί να είναι οργανωμένοι σε ειδικούς συνδέσμους φιλάθλων, να διοργανώνουν διάφορες εκδηλώσεις πριν, κατά τη διάρκεια ή μετά τους αγώνες, να τοποθετούν πανό στις κερκίδες, να φοράνε φανέλες και κασκόλ της ομάδας τους, να τραγουδούν ή να φωνάζουν συνθήματα για να ενθαρρύνουν την ομάδα τους, να προσβάλλουν τους αντιπάλους ή απλά να κάνουν θόρυβο.  Σε τέτοιες εκδηλώσεις δεν είναι σπάνια τα ρατσιστικά φαινόμενα, τα οποία οι διοικητικές αρχές του ποδοσφαίρου προσπαθούν να αντιμετωπίσουν. Πρόκειται για το σοβαρότατο πρόβλημα της βίας στα γήπεδα, το φαινόμενο κοινωνικής παθογένειας (ή νοσηρότητας) του χουλιγκανισμού. Η FIFA, η UEFA και η Ευρωπαϊκή Ένωση υποστηρίζουν την εκστρατεία ενάντια στο ρατσισμό στην Ευρώπη (Football Against Racism in Europe-FARE) στοχεύοντας στην εξάλειψη του φαινομένου αυτού. Το πάθος με το οποίο οι οπαδοί υποστηρίζουν τις ποδοσφαιρικές ομάδες σε μερικές περιπτώσεις οδηγεί σε επιθετικές συμπεριφορές και βίαιες συγκρούσεις μεταξύ οπαδών. Υπάρχουν περιπτώσεις με συνδέσμους φιλάθλων που έχουν εκφυλιστεί σε οργανωμένες συμμορίες και αναζητούν βίαιες συγκρούσεις με αντίπαλες συμμορίες οπαδών.[21] Μάλιστα, πυρήνας του φαινομένου αυτού θεωρήθηκε η Αγγλία, όπου και παρατηρήθηκαν τα πρώτα επεισόδια βίας στα γήπεδα (ή χουλιγκανισμού ή αθλητικής βίας), με αποτέλεσμα να ονομαστεί το φαινόμενο αυτό English Disease.[22]

Σε κάθε περίπτωση, το ποδόσφαιρο, όπως και τα μαθηματικά, αποτελούν δύο διαφορετικούς κλάδους (αθλητικός και επιστημονικός αντίστοιχα) που χρησιμοποιούνται και έχουν ενταχθεί στην καθημερινή μας ζωή και μπορούν να συνδυαστούν, ακόμη κι αν ακούγεται ιδιόρρυθμο. 

ballmath

  1. Σχέση Μαθηματικών και Ποδοσφαίρου.

Μια σημαντική προσωπικότητα που υποστήριξε πρώτος τη σύνδεση μαθηματικών (και φυσικής, μάλιστα) με το ποδόσφαιρο ήταν ο Βαλερί Λομπανόφσκι, προπονητής της ομάδας του Κιέβου Ντιναμό.  Η  φιλοσοφία ήταν η σκληρή πίεση χωρίς τη μπάλα, η γρήγορη κίνηση και η εναλλαγή των παικτών. Επίσης, σημαντικός είναι και ο έλεγχος του χώρου, με αποτέλεσμα να απαιτείται αυτή η στερεομετρική – χωροταξική αντίληψη και η ανάπτυξή της. Ο Λομπανόφσκι ήθελε τους ποδοσφαιριστές να παίζουν σκάκι για να οξύνεται ο νους και τους έβαζε διάφορα μαθηματικά τεστ και ασκήσεις μπροστά σε υπολογιστή για να τεστάρει την ετοιμότητα τους.[23]

Παρά την απίστευτα καλή φυσική της  κατάσταση της Ντιναμό, αυτή η ομάδα σύμφωνα με μαρτυρίες,  δεν ήταν όπως την παρουσίαζε ο δυτικός Τύπος, δηλαδή σα μια μηχανή. Μπορεί οι παίκτες της να προπονούνταν στην ομαδική τακτική, αλλά ο καθηγητής, Ανατόλι Ζελέντσοφ, ο εξαιρετικός συνεργάτης του Λομπάνοφσκι, πάντα φρόντιζε να ξεκαθαρίζει τα πράγματα, σαν να μιλάει σε στρατιώτες  που είναι έτοιμοι να προσαρμοστούν σε κάθε περίπτωση. Σύμφωνα με αυτόν, στο ποδόσφαιρο υπάρχει ένας αρχηγός που παίρνει την απόφαση να κινηθεί, να μιλήσει. Οι υπόλοιποι πρέπει να τιθασεύσουν τα συναισθήματά τους και να ακολουθήσουν τον αρχηγό. Εντούτοις, σε κάθε ομάδα υπάρχουν παίκτες που συμμαχούν μεταξύ τους για να καταστρέψουν τους πειθαρχημένους, με αποτέλεσμα να προκαλείται τελικά μια διαμάχη και προσπάθεια εξόντωσης των πειθαρχημένων στον αρχηγό με τους ανυπάκουους και ατίθασους στον αρχηγό της ομάδας.[24]

Έτσι, ο Λομπανόφσκι ήταν ένας αυστηρότατος προπονητής που ασκούσε ασφυκτική πίεση. Χαρακτηριστικά μάλιστα, είναι τα εν ακόλουθα λόγια του, με τα οποία σκιαγραφείται η αυστηρότητα και απαιτητικότητά του από τους παίκτες του, όπως τα είχε πει σε ένα σεμινάριο της ΟΥΕΦΑ: Για να επιτεθείς είναι απαραίτητο να αφαιρέσεις την μπάλα από τον αντίπαλο. Πότε είναι πιο εύκολο να το κάνεις αυτό, με πέντε παίκτες ή και με τους έντεκα; είχε πει σε ένα σεμινάριο της ΟΥΕΦΑ.  Το πιο σημαντικό πράγμα στο ποδόσφαιρο είναι το τι κάνει ένας παίκτης στο χορτάρι όταν δεν έχει την μπάλα,  όχι το αντίθετο. Έτσι, όταν λέμε ότι έχουμε έναν εξαιρετικό παίκτη, αυτό πηγάζει από το 1% του ταλέντου του και το 99% της σκληρής δουλειάς. Υπήρχαν, όμως, και ελαττώματα στην μέθοδό του. Η ιδιοφυία του Λομπανόφσκι είχε να κάνει με το γεγονός ότι συνέχισε να αναπτύσσει το σύστημά του κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού∙ επίσης, αποδείχτηκε άκρως ικανός στο να προσαρμοστεί στο πολιτικό κλίμα που άλλαξε στα τέλη της δεκαετίας του ‘80.[25]

Επομένως, η καλλιέργεια της μαθηματικής – θετικής – πρακτικής σκέψης αποτελούσε επίσης βασικότατο παράγοντα και παράμετρο για την σωστή και προπαντός, αποτελεσματική, εποικοδομητική και καρποφόρα προπόνηση μιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Από το ανωτέρω αναφερόμενο παράδειγμα λοιπόν, γίνεται αντιληπτή η πειθαρχία που επιβάλλεται σε έναν αρχηγό στην ποδοσφαιρική ομάδα και μπορεί να αναπτυχθεί και να μεταλαμπαδευτεί ως νοοτροπία και μέσα από τις εκπαιδευτικές δραστηριότητες και πρακτικές θετικής κατεύθυνσης.

Ένα είδος καινούργιας μπάλας, η Jabulani (σημαίνει να το γιορτάσουμε στη γλώσσα των Ζουλού) σχεδιάστηκε, δοκιμάστηκε και κρίθηκε, καθώς αποτελεί ένα ακόμη προϊόν της επιστημονικής μελέτης και έρευνας, κυρίως σε σχέση με τη συμπεριφορά και την αντίδραση των υλικών και δοκιμών που υπέστησαν σε αεροσήραγγες.[26] Επομένως, παρατηρείται ότι μια ποδοσφαιρική μπάλα σχετίζεται με την επιστήμη της φυσικής και κατά συνέπεια, και των μαθηματικών, διότι η φυσική και οι νόμοι της φύσης που μελετά δεν μπορούν να εξηγηθούν παρά μόνο μέσα από μαθηματικούς τύπους και μαθηματικές περιγραφές.

 Είναι έντονη επομένως, μια ακόμη προσπάθεια οι νόμοι της Φυσικής να παίξουν κάποιον ρόλο στη διαμόρφωση του δημοφιλέστερου αθλήματος στον κόσμο. Άρα, η επιστήμη και πιο συγκεκριμένη, η εφαρμογή των θετικών επιστημών (φυσικής και μαθηματικών) μπορούν να εφαρμοστούν στο δημοφιλέστερο και λαϊκότερο άθλημα του κόσμου, το ποδόσφαιρο. Η επιστήμη μπορεί να κάνει τα πράγματα πιο προβλέψιμα, καθώς στηρίζεται στη λογική, σε λογικούς συλλογισμούς.[27]

Για να διαπιστωθεί η εφαρμογή τόσο της φυσικής όσο και των μαθηματικών όσον αφορά στη λειτουργία αυτής της ιδιαίτερης ποδοσφαιρικής μπάλας, αρκεί να αναφερθεί ένα παράδειγμα από άρθρο της εφημερίδας Το Βήμα (13.6.2010):

Στο πέναλτι η ομάδα και ο τερματοφύλακας στήνονται μπροστά στο εκτελεστικό απόσπασμα, «στα 11 μέτρα», όπως λέγεται. Γιατί όμως σε αυτή την απόσταση; Από το 1902 ισχύει ότι η μπάλα, στην πιο βαριά από τις ποινές του ποδοσφαίρου, πρέπει να στηθεί στις 12 γιάρδες, δηλαδή στα 10,97 μέτρα. Είναι μια απόσταση, όπως θα δούμε, σχετικά καλά διαλεγμένη. Γι’ αυτό μπορούν να μας διαβεβαιώσουν και η στατιστική και κάποιοι εύκολοι υπολογισμοί. Η ποινή θα έπρεπε να είναι βαριά, δηλαδή να είναι σχεδόν γκολ, αλλά όχι και εκατό τοις εκατό, για να υπάρχει ενδιαφέρον. Έχουν λοιπόν επιλέξει μια πιθανότητα κοντά στο 75%. Αυτό έχει αποδειχτεί ότι διατηρείται από πολλές στατιστικές μετρήσεις σε πρωταθλήματα υψηλού επιπέδου και διοργανώσεις όπως το Παγκόσμιο και το Ευρωπαϊκό. Μετράς δηλαδή πόσα πέναλτι δόθηκαν και πόσα από αυτά μπήκα γκολ.  Μπορείς όμως να φθάσεις στο ίδιο αποτέλεσμα και από αλλού. Όταν το τέρμα έχει άνοιγμα 7,32 μέτρα και ύψος 2,44,η επιφάνειά του βγαίνει κοντά στα 18 τετραγωνικά μέτρα. Ένας τερματοφύλακας σε μουντιαλικό επίπεδο είναι περίπου τα 2 μέτρα και το άνοιγμα των χεριών του φθάνει επίσης τα 2 μέτρα, άρα καλύπτει περίπου 4 τετραγωνικά, δηλαδή το 22% της επιφάνειας του τέρματος. Άρα μένει το 78% ακάλυπτο, που είναι κοντά στο 75%.Ισως θα έπρεπε η μπάλα να στηνόταν κάπου μισό μέτρο πιο πίσω για να είναι τα πράγματα πιο δίκαια. Διότι είναι και ο χρόνος αντίδρασης του τερματοφύλακα που πρέπει να λογαριαστεί. Στα πέναλτι η μέγιστη ταχύτητα της μπάλας φθάνει τα 120-130 χιλιόμετρα την ώρα. Αλλά ο μέσος όρος βγαίνει κάπου 100 χιλιόμετρα την ώρα. Για να διανύσει η μπάλα την απόσταση των 11 μέτρων, αυτό δίνει κατά προσέγγιση χρόνο 0,4 του δευτερολέπτου. Ένας άνθρωπος χρειάζεται 0,2 δευτερόλεπτα για να αντιληφθεί προς το πού κατευθύνεται η μπάλα, άρα του μένουν 0,2 ακόμη για να αντιδράσει. Αλλά η εκτίναξη ως τη γωνία του, που είναι σε απόσταση 3,66 μέτρων με 40 χιλιόμετρα την ώρα ταχύτητα, χρειάζεται χρόνο 0,33 δευτερολέπτων. Γι’ αυτό βλέπουμε τους τερματοφύλακες να έχουν από πριν αποφασίσει προς τα πού θα πέσουν.
Όσο για τη διαδικασία των 5 πέναλτι, μετά τους αγώνες των ομίλων, όταν πρέπει πάντα να αναδειχτεί κάποιος νικητής, έχουν γίνει μελέτες και με τη θεωρία των πιθανοτήτων και με στατιστικές. Και βγαίνει ότι, αφού στις προπονήσεις έχουν χτυπηθεί άπειρα πέναλτι και έχουν γίνει στατιστικές μελέτες, η καλύτερη στρατηγική είναι το πρώτο πέναλτι να το χτυπάει ο χειρότερος των πέντε παικτών που έχουν επιλεγεί και να πηγαίνουμε προς τον καλύτερο, δηλαδή τον πιο εύστοχο αλλά και πιο ψύχραιμο, όταν πιθανόν η πίεση έχει ανέβει στα ύψη
.[28]

            Από το ανωτέρω αυτούσια αναφερόμενο παράδειγμα, το οποίο λειτουργεί ως τεκμήριο, αποδεικνύεται ότι οι θετικές επιστήμες, μαθηματικά και φυσική, οι νόμοι, οι θεωρίες και τα θεωρήματά τους, οι πράξεις και οι τύποι, οι συλλογισμοί τους αποδεικνύουν ότι μπορούν να εφαρμοσθούν και στο άθλημα του ποδοσφαίρου. Έτσι, μπορεί να υπολογισθεί η απόσταση που θα διανύσει η μπάλα, η ταχύτητά της και η τροχιά κίνησης που θα διαγράψει και άλλα πολλά στοιχεία. Επομένως, παίκτες, προπονητές και διαιτητές μπορούν να υπολογίσουν ζητήματα που αφορούν ένα ποδοσφαιρικό παιχνίδι. Άλλωστε, η γοητεία του ποδοσφαίρου κρύβεται και στη γεωμετρική και αρχιτεκτονική ανάλυση των γηπέδων και στο ευμετάβλητο του χώρου, μια ιδέα που παρουσιάστηκε από τον Ανρί Πουανκαρέ.[29]

            Άλλωστε, το ποδόσφαιρο είναι τέχνη, αλλά και επιστήμη, διότι ο κάθε παίκτης χρησιμοποιεί και γεωμετρία και αεροδυναμική και γεωμετρία προκειμένου να κινηθεί σωστά στο γήπεδο και να υπολογίζει αποστάσεις, να προσπαθεί να προβλέψει την πορεία της μπάλας και γενικώς, πώς να αποφύγει τα λάθη που θα κοστίσουν στην ομάδα και αντιθέτως, πώς θα έρθει πιο κοντά στο γκολ, που αποτελεί και τον επιδιωκόμενο στόχο κάθε παίκτη και ομάδας.

            Αξιοσημείωτος είναι ένας άλλος επιστήμονας, ο  Hawking, Βρετανός θεωρητικός φυσικός, κοσμολόγος, συγγραφέας και Διευθυντής Ερευνών στο Κέντρο Θεωρητικής Κοσμολογίας στο Πανεπιστήμιο του Cambridge, ο οποίος συνδύασε επίσης τα μαθηματικά με το ποδόσφαιρο, καθώς επιδιώκει γενικώς με τις γνώσεις του να επεξηγεί σχεδόν τα πάντα βάσει αριθμών. Έτσι, ασχολήθηκε με την εθνική ομάδα της  Αγγλίας και εφηύρε έναν μαθηματικό τύπο για να προβλέψει (στο μέτρο του δυνατού) την πιθανότητα κατάκτησης του παγκόσμιου κυπέλλου.[30]

            Σύμφωνα με τη θεωρία του λοιπόν, θεωρεί ότι στην ανάλυση υπεισέρχονται πάρα πολλοί παράγοντες, με αποτέλεσμα οι υπολογισμοί να γίνονται εξαιρετικά περίπλοκοι. Μετά από πολλές δυσκολίες κατέληξε σε ένα περίπλοκο μαθηματικό τύπο, ο οποίος αναλύεται κατωτέρω:

  • Τα ήπια κλίματα είναι καλύτερα (…).
  • Υψόμετρο: η Αγγλία έχει διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσει όταν παίζει σε υψόμετρο 500 μέτρων πάνω από τη θάλασσα.
  • Κοντά στο σπίτι: όταν παίζει σε κοντινές αποστάσεις από το νησί, έχει 22% περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει.
  • Ώρα έναρξης του αγώνα: οι Άγγλοι ποδοσφαιριστές επηρεάζονται από την ώρα έναρξης του παιχνιδιού. Αν το ματς ξεκινήσει στις 15:00, αυξάνονται κατά το 1/3 οι πιθανότητες να νικήσουν.
  • Τακτική: Το σύστημα παιχνιδιού 4:3:3 δίνει ένα ποσοστό επιτυχίας 58% σε σύγκριση με το 48% που δίνει το σύστημα 4:4:2.
  • Χρώμα φανέλας: το κόκκινο χρώμα αυξάνει τις πιθανότητες επιτυχίας.
  • Διαιτητές: Με ευρωπαίους διαιτητές έχει πιθανότητες νίκης 68%.[31]
  1. Επίλογος.

Από την ανωτέρω αδρομερή ανάλυση και τα παραδείγματα θετικών επιστημόνων που αναφέρθηκαν, φανερώνεται πώς το ποδόσφαιρο και τα μαθηματικά μπορούν να συνδυαστούν. Σε μια εποχή όπου το επαγγελματικό ποδόσφαιρό δεν είναι μόνο απόρροια καλής και εντατικής προπόνησης, αλλά και πιθανοτήτων και εξηγήσεων βάσει της φυσικής, των μαθηματικών, της στερεομετρίας, της γεωμετρίας, ακόμη και της αρχιτεκτονικής, οι υπεύθυνοι του κλάδου οφείλουν να γνωρίζουν την εφαρμογή των θετικών αυτών επιστημών, κυρίως των μαθηματικών που αποτελούν τη μήτρα τους, για να έχουν τα μέγιστα δυνατά και καλύτερα αποτελέσματα.

  1. Βιβλιογραφικές αναφορές.
  • K. Bray (μετάφρ. Ν. Λυκομήτρος) (2007). Τα Μαθηματικά του Ποδοσφαίρου. Τραυλός: Αθήνα.
  • Courant & H. Robbins (1941). What Is Mathematics?
  • J. Davis & R. Hersh (1980).The Mathematical Experience. Birkhduser: Boston, Mass.
  • Κ. Devlin (1996). Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe. Scientific American Paperback Library.
  • Friberg, “Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations”. Historia Mathematica 8 (1981), 277- 318.
  • Gullberg (1996).Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton.
  • Hazewinkel (ed.) (2000). Encyclopedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers.
  • L. Heath (1963). A Manual of Greek Mathematics. Dover Publications Inc: Mineola, New York, 5.
  • Ifrah (1986). Universalgeschichte der Zahlen, Campus: Frankfurt, New York, 428—437.
  • Gh. Joseph (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books: London, 140-148.
  • Ο. Neugebauer (19692, 19571). The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications, 71–96.
  • Oxford English Dictionary, Oxford University Press, Oxford 2012.
  • Μ. Παπαδάτος, «Άποψη: Ποδόσφαιρο και Πολιτική», Καθημερινή (24.11.2012). Αναρτήθηκεhttp://www.kathimerini.gr/473994/article/epikairothta/a8lhtismos/apoyh–podosfairo-kai-politikh (Τελευταία ανάκτηση στις 21/5/2016).
  • Ε. Σπάνδαγος, Ρ. Σπανδάγου & Δ. Τραυλού (2000). Οι Μαθηματικοί της Αρχαιότητας. Αίθρα: Αθήνα.
  • Steen, L.A. (1988). «The Science of Patterns». Science, 240: 611–616.
  • Μ. Φλουρή & Ι. Οικονόμου, Μαθηματικά και Αθλητισμός, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων – Παιδαγωγικό τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, 7-8.

Διαδίκτυο

[1] Oxford English Dictionary, Oxford University Press, Oxford 2012, s.vv. mathematic, mathematics.

[2]http://www.bbc.co.uk/programmes/b00sr3fm & http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv (Ανακτήθηκαν για τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[3] Oxford English Dictionary, Oxford University Press, Oxford 2012, s.v. mathematics.

[4]  Steen, L.A. (1988). «The Science of Patterns». Science, 240: 611–616; Κ. Devlin (1996). Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe. Scientific American Paperback Library.

[5] J. Friberg, “Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations”. Historia Mathematica 8 (1981), 277- 318; Ο. Neugebauer (19692, 19571). The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications,  71–96.

[6] T. L. Heath (1963). A Manual of Greek Mathematics. Dover Publications Inc: Mineola, New York, 5; G. Gh. Joseph (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books: London, 140-148; G. Ifrah (1986). Universalgeschichte der Zahlen, Campus: Frankfurt, New York, 428—437; http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[7] http://wwwhistory.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[8] Βλ. για πολλά περισσότερα για ονόματα και βιογραφίες και εργογραφίες σημαντικών Ελλήνων μαθηματικών, Ε. Σπάνδαγος, Ρ. Σπανδάγου & Δ. Τραυλού (2000). Οι Μαθηματικοί της Αρχαιότητας. Αίθρα: Αθήνα.

[9] http://wwwhistory.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[10] http://wwwhistory.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[11] Βλ. περισσότερα σχετικά με την ιστορία και την εξέλιξη των μαθηματικών, R. Courant & H. Robbins (1941). What Is Mathematics? Ph. J. Davis & R. Hersh (1980). The Mathematical Experience. Birkhduser: Boston, Mass; J. Gullberg (1996). Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton; M. Hazewinkel (ed.) (2000). Encyclopedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers.

[12]http://www.streetdirectory.com/travel_guide/46400/soccer/football___the_king_of_sports.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016); http://www.enet.gr/?i=news.el.article&id=55925 (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016). Βλ. επίσης και Μ. Φλουρή & Ι. Οικονόμου, Μαθηματικά και Αθλητισμός, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων – Παιδαγωγικό τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, 7-8.

[13] http://www.britannica.com/sports/football-soccer (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[14]http://web.archive.org/web/20061230124633/http://www.fifa.com/en/marketing/newmedia/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 20/5/2016).

[15] http://www.greek-language.gr/greekLang/modern_greek/tools/lexica/search (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016)∙ http://www.sansimera.gr/articles/19 (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016)∙http://www.todayifoundout.com/index.php/2010/06/the-origin-of-the-word-soccer/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[16] http://www.greek-language.gr/greekLang/modern_greek/tools/lexica/search (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[17] https://www.theguardian.com/football/2003/oct/09/theknowledge.sport (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[18] http://www.fifa.com/mm/document/fifafacts/bcoffsurv/bigcount.statspackage_7024.pdf (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[19] Βλ. περισσότερα σχετικά με την πολιτική και το ποδόσφαιρο, Μπ. Παπαδάτος, «Άποψη: Ποδόσφαιρο και Πολιτική», Καθημερινή (24.11.2012). αναρτήθηκε και στο http://www.kathimerini.gr/473994/article/epikairothta/a8lhtismos/apoyh–podosfairo-kai-politikh (Τελευταία ανάκτηση στις 21/5/2016).

[20]Αναφορές στη σχέση ποδοσφαίρου και θρησκείας, http://web.archive.org/web/20041010044200/www.footballculture.net/fans/feat_religion.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[21] http://www.farenet.org/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[22] http://www.popcenter.org/problems/spectator_violence/PDFs/Garland_and_Rowe.pdf (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[23] http://www.aixmi.gr/index.php/o-anthrospos-pou-zevgarose-mathimatika-balla/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[24] http://www.aixmi.gr/index.php/o-anthrospos-pou-zevgarose-mathimatika-balla/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[25] http://www.aixmi.gr/index.php/o-anthrospos-pou-zevgarose-mathimatika-balla/ (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[26] http://www.tovima.gr/science/article/?aid=337336 (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[27] http://www.tovima.gr/science/article/?aid=337336 (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[28] Το παράδειγμα πάρθηκε αυτούσιο από το http://www.tovima.gr/science/article/?aid=337336 (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[29] Βλ. πολλά περισσότερα σχετικά με την αρχιτεκτονική και τη γεωμετρία, αλλά γενικώς τα μαθηματικά και τη φυσική του ποδοσφαίρου, K. Bray (μετάφρ. Ν. Λυκομήτρος) (2007). Τα Μαθηματικά του Ποδοσφαίρου. Τραυλός: Αθήνα.

[30] http://www.football-academies.gr/articles/10942–hawking.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

[31] Η ανωτέρω ανάλυση αντλήθηκε αυτούσια από το http://www.football-academies.gr/articles/10942–hawking.html (Ανακτήθηκε τελευταία φορά στις 21/5/2016).

**********

Αθηνά Μαλαπάνη

[email protected]


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -