Τα Μαθηματικά της Αγάπης – TED


Η ομιλία Ted της Χάνα Φράι που εξηγεί πώς θα βρεις την αληθινή αγάπη μέσω των μαθηματικών. Αποδεικνύει με οξυδέρκεια, ευφυΐα και χιούμορ ότι τα μαθηματικά είναι ένα αναπάντεχα χρήσιμο εργαλείο για να διαπραγματευόμαστε τα πολύπλοκα, άλλοτε μπερδεμένα κι άλλοτε εξοργιστικά, μα πάντα ενδιαφέροντα, μαθηματικά μοντέλα της αγάπης.

 ——–  ——- ——–

 

——–  ——- ——–

Η ΟΜΙΛΙΑ

Στην αγαπημένη μου έρευνα γι’ αυτό το θέμα, που ονομάζεται, «Γιατί δεν έχω κοπέλα» — (Γέλια) ο Πίτερ Μπάκους προσπαθεί να εκτιμήσει την πιθανότητα να βρει την αγάπη. Ο Πίτερ δεν είναι άπληστος άνθρωπος. Απ’ όλες τις διαθέσιμες γυναίκες στο Ηνωμένο Βασίλειο, το μόνο που ψάχνει ο Πίτερ είναι κάποια που να μένει κοντά του, κάποια στο σωστό εύρος ηλικίας, κάποια με πτυχίο πανεπιστημίου, κάποια με την οποία μάλλον θα τα πάει καλά, κάποια που μάλλον θα είναι ελκυστική, κάποια που μάλλον θα τον βρει ελκυστικό. (Γέλια) Και του βγαίνει μια εκτίμηση με 26 γυναίκες σε ολόκληρο το Ηνωμένο Βασίλειο. Δεν φαίνονται καλά τα πράγματα, έτσι Πίτερ; Για να έχουμε μια προοπτική των πραγμάτων, είναι περίπου 400 φορές λιγότερες από τις καλύτερες εκτιμήσεις για το πόσες ευφυείς εξωγήινες μορφές ζωής υπάρχουν. Επίσης δίνει στον Πίτερ μία πιθανότητα στις 285.000 να συναντήσει κάποια από αυτές τις ξεχωριστές κυρίες σε μια νυχτερινή έξοδο. Πιστεύω ότι γι’ αυτό οι μαθηματικοί δεν ασχολούνται πια με τις νυχτερινές εξόδους.

Το θέμα είναι ότι προσωπικά δεν έχω τόσο απαισιόδοξη οπτική. Επειδή γνωρίζω, όπως και όλοι εσείς, ότι η αγάπη δεν λειτουργεί έτσι. Τα ανθρώπινα αισθήματα δεν έχουν τάξη, ούτε είναι λογικά και εύκολα προβλέψιμα. Αλλά επίσης ξέρω πως αυτό δεν σημαίνει ότι τα μαθηματικά δεν έχουν κάτι να μας προσφέρουν επειδή, η αγάπη, όπως και τα περισσότερα στη ζωή, είναι γεμάτη μοτίβα και τα μαθηματικά τελικά έχουν να κάνουν με τη μελέτη μοτίβων. Μοτίβα πρόβλεψης καιρού έως τα σκαμπανεβάσματα του χρηματιστηρίου, έως την κίνηση των πλανητών ή την ανάπτυξη των πόλεων. Ειλικρινά, τίποτα από αυτά δεν είναι τακτοποιημένο και εύκολα προβλέψιμο. Επειδή πιστεύω ότι τα μαθηματικά είναι τόσο ισχυρά, που έχουν τη δυνατότητα να μας προσφέρουν έναν νέο τρόπο να δούμε σχεδόν οτιδήποτε. Ακόμη και κάτι τόσο μυστηριώδες όσο η αγάπη. Κι έτσι, για να σας πείσω για το πόσο εκπληκτικά, εξαιρετικά και σχετικά είναι τα μαθηματικά, σας δίνω τις τρεις καλύτερες μαθηματικά επαληθεύσιμες συμβουλές μου για την αγάπη.

Λοιπόν, Συμβουλή Νο. 1: Πώς να κερδίσετε στα διαδικτυακά ραντεβού. Η αγαπημένη μου σελίδα διαδικτυακών γνωριμιών είναι η OkCupid, αν μη τι άλλο επειδή την ξεκίνησε μια ομάδα μαθηματικών. Επειδή είναι μαθηματικοί, συλλέγουν δεδομένα για οποιονδήποτε χρησιμοποιεί την ιστοσελίδα επί σχεδόν δέκα χρόνια. Προσπαθούν να βρουν μοτίβα στον τρόπο που μιλάμε για τον εαυτό μας και στον τρόπο που αλληλεπιδρούμε μεταξύ μας σε μια διαδικτυακή ιστοσελίδα γνωριμιών. Βρήκαν κάποια πολύ ενδιαφέροντα πράγματα. Αλλά το αγαπημένο μου είναι ότι τελικά σε μια διαδικτυακή σελίδα γνωριμιών, το πόσο ελκυστικός είσαι δεν έχει να κάνει με το πόσο δημοφιλής είσαι, και στην πραγματικότητα, το να πιστεύει ο κόσμος ότι είσαι άσχημος μπορεί να είναι προς το συμφέρον σου. Ας σας δείξω πώς λειτουργεί. Σε ένα ευτυχώς εθελοντικό κομμάτι του OkCupid, μπορείτε να βαθμολογήσετε πόσο ελκυστικούς βρίσκετε τους άλλους σε μια κλίμακα από το 1 έως το 5. Τώρα, αν συγκρίνουμε αυτό το σκορ, τον μέσο όρο, με το πόσα μηνύματα λαμβάνουν κάποια επιλεγμένα άτομα, αρχίζετε να παίρνετε μια ιδέα για τη σχέση γοητείας και δημοτικότητας σε μια ιστοσελίδα γνωριμιών.

Αυτό είναι το γράφημα που έφτιαξαν τα παιδιά στο OkCupid. Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι δεν ισχύει απόλυτα ότι όσο πιο ελκυστικοί είστε, τόσο πιο πολλά μηνύματα θα λάβετε. Αλλά εγείρεται το ερώτημα για το τι συμβαίνει με αυτούς εδώ πάνω που είναι πολύ πιο δημοφιλείς από αυτούς εδώ κάτω αν και έχουν το ίδιο σκορ ελκυστικότητας; Ο λόγος είναι ότι το παρουσιαστικό δεν είναι το μόνο σημαντικό. Ας σας δείξω τα ευρήματά τους με ένα παράδειγμα. Παίρνετε κάποια σαν την Πόρσια ντε Ρόσι, για παράδειγμα, όλοι συμφωνούν ότι η Πόρσια ντε Ρόσι είναι μια πολύ όμορφη γυναίκα. Κανείς δεν πιστεύει ότι είναι άσχημη, αλλά δεν είναι και σούπερ μόντελ. Αν συγκρίνετε την Πόρσια ντε Ρόσι με κάποια σαν τη Σάρα Τζέσικα Πάρκερ, πολλοί άνθρωποι, κι εγώ ανάμεσά τους θα έλεγα, πιστεύουν ότι η Σάρα Τζέσικα Πάρκερ είναι πραγματικά υπέροχη και μάλλον είναι ένα από τα πιο όμορφα πλάσματα που έχουν πατήσει ποτέ στη Γη. Αλλά μερικοί, δηλαδή το μεγαλύτερο κομμάτι του διαδικτύου, φαίνεται να πιστεύουν ότι μοιάζει λιγάκι με άλογο. (Γέλια) Νομίζω ότι αν ρωτήσετε τον κόσμο πόσο ελκυστικές βρίσκουν τη Σάρα Τζέσικα Πάρκερ ή την Πόρσια ντε Ρόσι, και τους ζητήσετε να τους δώσουν ένα σκορ από το 1 έως το 5, πιστεύω ότι κατά μέσο όρο θα έχουν περίπου το ίδιο σκορ. Αλλά ο τρόπος που θα ψήφιζε ο κόσμος θα ήταν πολύ διαφορετικός. Η βαθμολογία της Πόρσια θα μαζευτεί γύρω στο 4, επειδή όλοι συμφωνούν ότι είναι πολύ όμορφη, ενώ η Σάρα Τζέσικα Πάρκερ διχάζει τελείως τις απόψεις. Θα υπήρχε ένα μεγάλο χάσμα στη βαθμολογία της. Αυτό που μετράει όμως είναι αυτό το χάσμα. Αυτό το χάσμα σας κάνει πιο δημοφιλή σε μια ιστοσελίδα διαδικτυακών γνωριμιών. Αυτό που σημαίνει είναι ότι αν μερικοί πιστεύουν ότι είστε γοητευτικοί, είναι καλύτερα να έχετε μερικούς άλλους να σας βρίσκουν κακάσχημους. Είναι πολύ καλύτερα από το να πιστεύουν όλοι ότι είστε η ομορφούλα γειτόνισσα.


Νομίζω ότι αυτό αρχίζει να γίνεται πιο κατανοητό όταν σκεφτείτε ποιος στέλνει αυτά τα μηνύματα. Έστω ότι πιστεύετε ότι κάποιος είναι γοητευτικός, αλλά υποψιάζεστε ότι οι άλλοι ίσως να μην ενδιαφερθούν και τόσο. Αυτό σημαίνει ότι θα έχετε μικρότερο ανταγωνισμό και είναι ένα επιπλέον κίνητρο για να επικοινωνήσετε. Συγκρίνετέ το με το αν βρίσκετε κάποιον γοητευτικό αλλά υποψιάζεστε ότι όλοι θα τον βρίσκουν γοητευτικό. Γιατί να ασχοληθείτε και να ντροπιαστείτε, ας είμαστε ειλικρινείς. Εδώ έρχεται το ενδιαφέρον κομμάτι. Επειδή όταν ο κόσμος επιλέγει τη φωτογραφία που θα χρησιμοποιήσει, συχνά προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει τα πράγματα που πιστεύει ότι μερικοί δεν θα βρουν ελκυστικά. Το κλασικό παράδειγμα είναι άτομα που είναι -ίσως- λιγάκι υπέρβαρα και επιλέγουν επίτηδες μια φωτογραφία που έχει ψαλιδιστεί αρκετά, ή φαλακροί άντρες, για παράδειγμα, επιλέγουν επίτηδες φωτογραφίες που φοράνε καπέλα. Αλλά πρέπει να κάνετε ακριβώς το αντίθετο αν θέλετε να έχετε επιτυχία. Αντιθέτως, θα πρέπει να δώσετε έμφαση σε ό,τι σας κάνει διαφορετικό, ακόμη κι αν νομίζετε ότι μερικοί δεν θα το βρουν ελκυστικό. Επειδή σε όσους αρέσετε, θα αρέσατε έτσι κι αλλιώς και οι ασήμαντοι χαμένοι που δεν τους αρέσετε, είναι προς το συμφέρον σας.

Τότε, το ερώτημα είναι, πώς ξέρετε πότε είναι η σωστή στιγμή να κατασταλάξετε αν σκεφτείτε με πόσους μπορείτε να βγείτε ραντεβού στη ζωή σας; Ευτυχώς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ζουμερό κομμάτι μαθηματικών για να μας βοηθήσει, που ονομάζεται θεωρία βέλτιστης παύσης. Ας φανταστούμε, λοιπόν, ότι ξεκινάτε να βγαίνετε ραντεβού στα 15, και ιδανικά, θα θέλατε παντρευτείτε μέχρι τα 35 σας. Υπάρχουν πολλά άτομα με τα οποία θα μπορούσατε να βγείτε ραντεβού στη ζωή σας, σε διάφορα επίπεδα καταλληλότητας. Αφού εξαργυρώσετε την επιτυχία και παντρευτείτε, δεν μπορείτε να δείτε μπροστά τι θα μπορούσατε να έχετε, ούτε μπορείτε να πάτε πίσω και ν’ αλλάξετε γνώμη. Τουλάχιστον από την εμπειρία μου, βρίσκω ότι συνήθως δεν αρέσει και τόσο στους ανθρώπους να τους ανακαλούν χρόνια αφού τους έχουν προσπεράσει για κάποιον άλλον, ή ίσως να το πιστεύω εγώ.

Τα μαθηματικά λένε ότι αυτό που πρέπει να κάνετε στο πρώτο 37 τοις εκατό του περιθωρίου των ραντεβού σας, είναι να τους αποκλείσετε όλους για ενδεχόμενο σοβαρό γάμο. (Γέλια) Και μετά, θα πρέπει να επιλέξετε το επόμενο άτομο που θα τύχει και είναι καλύτερο από όλους όσους έχετε δει πιο πριν. Να ένα παράδειγμα. Αν το κάνετε αυτό, και μπορεί να αποδειχτεί μαθηματικά, ότι είναι ο καλύτερος δυνατός τρόπος να μεγιστοποιήσετε τις πιθανότητές σας στην εύρεση του τέλειου συντρόφου. Δυστυχώς, πρέπει να σας πω ότι αυτή η μέθοδος έχει μερικά ρίσκα. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι ο τέλειος σύντροφος εμφανιζόταν κατά τη διάρκεια του πρώτου 37 τοις εκατό. Δυστυχώς θα πρέπει να τον απορρίψετε. (Γέλια) Αν ακολουθείτε τα μαθηματικά, φοβάμαι ότι δεν θα βρεθεί κανένας καλύτερος από όλους όσους είχατε δει πριν, έτσι θα πρέπει να συνεχίσετε απορρίπτοντάς τους όλους και να πεθάνετε μόνοι. (Γέλια) Ίσως περιτριγυρισμένοι από γάτες που να τσιμπολογάνε τα απομεινάρια σας.

Ένα άλλο ρίσκο τώρα, ας φανταστούμε αντιθέτως ότι τα πρώτα άτομα με τα οποία βγήκατε ραντεβού στο πρώτο 37 τοις εκατό είναι απίστευτα μονότονα, βαρετά, απαίσια άτομα. Δεν πειράζει, επειδή είστε στη φάση της απόρριψης, οπότε μπορείτε να τους απορρίψετε. Αλλά φανταστείτε ότι μετά, το επόμενο άτομο που θα συναντήσετε είναι οριακά λιγότερο μονότονο, βαρετό και απαίσιο απ’ όλους όσους έχετε δει πιο πριν. Αν ακολουθείτε τα μαθηματικά, φοβάμαι ότι θα πρέπει να τον παντρευτείτε και να καταλήξετε σε μια σχέση που φοβάμαι πως δεν είναι η βέλτιστη. Συγγνώμη γι’ αυτό. Αλλά νομίζω ότι εδώ υπάρχει μια ευκαιρία να επωφεληθεί από αυτό η Χάλμαρκ και να τροφοδοτήσει αυτή την αγορά. Μια κάρτα Αγίου Βαλεντίνου σαν αυτήν. (Γέλια) «Αγαπημένε μου σύζυγε, είσαι οριακά λιγότερο χειρότερος απ’ ό,τι το πρώτο 37 τοις εκατό των ατόμων με τους οποίους έχω βγει ραντεβού». Είναι πιο ρομαντικό απ’ ό,τι καταφέρνω συνήθως.

Αυτή η μέθοδος δεν σας δίνει ποσοστό επιτυχίας 100 τοις εκατό, αλλά δεν υπάρχει άλλη στρατηγική που να μπορεί να τα πάει καλύτερα. Στη φύση, υπάρχουν κάποια είδη ψαριών που ακολουθούν και χρησιμοποιούν αυτήν ακριβώς τη στρατηγική. Απορρίπτουν όλους τους μνηστήρες στο πρώτο 37 τοις εκατό της εποχής ζευγαρώματος, και μετά επιλέγουν το επόμενο ψάρι που έρχεται μετά από αυτό το παράθυρο που είναι, δεν ξέρω, μεγαλύτερο και πιο εύσωμο απ’ όλα τα άλλα ψάρια που είδαν πιο πριν. Επίσης πιστεύω ότι υποσυνείδητα, το κάνουμε αυτό εμείς οι άνθρωποι. Μας δίνουμε λίγο περισσότερο χρόνο να κάνουμε παιχνίδι, να πάρουμε μια ιδέα για την αγορά όταν είμαστε νέοι. Και τότε μόνο αρχίζουμε να ψάχνουμε σοβαρά πιθανούς υποψήφιους για γάμο μόλις φτάσουμε τα 25 με 30. Νομίζω ότι αυτό είναι αδιαμφισβήτητη απόδειξη, αν χρειάζεται, ότι οι εγκέφαλοι είναι προγραμματισμένοι να είναι λίγο μαθηματικοί.

Αυτή ήταν η Συμβουλή Νο. 2. Τώρα, η Συμβουλή Νο. 3: Πώς να αποφύγετε το διαζύγιο. Ας φανταστούμε ότι επιλέξατε τον τέλειο για σας σύντροφο και κατασταλάζετε σε μια ισόβια σχέση μαζί τους. Θέλω να πιστεύω ότι ιδανικά όλοι θα ήθελαν να αποφύγουν το διαζύγιο, εκτός από, δεν ξέρω, ίσως τη γυναίκα του Πιρς Μόργκαν; Είναι όμως ένα δυσάρεστο δεδομένο της μοντέρνας ζωής ότι ένας στους δύο γάμους στις Ηνωμένες Πολιτείες καταλήγει σε διαζύγιο, με τον υπόλοιπο κόσμο να ακολουθεί από κοντά. Τώρα, ίσως να σας συγχωρέσουμε που πιστεύετε ότι οι λογομαχίες που προηγούνται μιας συζυγικής διάλυσης δεν είναι ο ιδανικός υποψήφιος για μαθηματική εξέταση. Αφενός, είναι πολύ δύσκολο να γνωρίζετε τι πρέπει να μετρήσετε ή τι πρέπει να ποσοτικοποιήσετε. Αλλά αυτό δεν εμπόδισε έναν ψυχολόγο, τον Τζον Γκότμαν, που έκανε ακριβώς αυτό. Ο Γκότμαν παρατήρησε εκατοντάδες ζευγάρια που συζητούσαν και κατέγραψε ό,τι μπορείτε να φανταστείτε. Κατέγραψε τι ειπώθηκε στη συζήτηση, κατέγραψε την αγωγιμότητα του δέρματός τους, κατέγραψε τις εκφράσεις του προσώπου τους, τον καρδιακό τους ρυθμό, την αρτηριακή τους πίεση, βασικά όλα εκτός από το αν η σύζυγος είχε όντως πάντα δίκιο ή όχι, που παρεμπιπτόντως είχε. Αλλά αυτό που βρήκε ο Γκότμαν και η ομάδα του ότι ήταν ένας από τους πιο σημαντικούς προγνωστικούς παράγοντες για το αν θα πάρει διαζύγιο ή όχι ένα ζευγάρι ήταν το πόσο θετικός ή αρνητικός ήταν κάθε σύντροφος στη συζήτηση.

Τα ζευγάρια με χαμηλό ρίσκο πήραν πολλούς περισσότερους θετικούς πόντους στην κλίμακα Γκότμαν, απ’ ό,τι αρνητικούς. Ενώ σε κακές σχέσεις, και με αυτό εννοώ, που μάλλον θα πάρουν διαζύγιο, βρήκαν τους εαυτούς τους σε έναν φαύλο κύκλο αρνητικότητας. Απλώς χρησιμοποιώντας αυτές τις πολύ απλές ιδέες, ο Γκότμαν και η ομάδα του μπόρεσαν να προβλέψουν αν κάποιο ζευγάρι θα έπαιρνε διαζύγιο με ακρίβεια 90 τοις εκατό. Αλλά μόνο όταν συνεργάστηκε με έναν μαθηματικό, τον Τζέιμς Μάρεϊ, άρχισαν να καταλαβαίνουν πραγματικά τι προκαλεί αυτούς τους φαύλους κύκλους αρνητικότητας και πώς εμφανίζονται. Τα αποτελέσματα που βρήκαν νομίζω ότι είναι απίστευτα εντυπωσιακά απλά και ενδιαφέροντα. Αυτές οι εξισώσεις προβλέπουν πώς θα ανταποκριθεί η σύζυγος ή ο σύζυγος όταν έρθει η σειρά τους στη συζήτηση, πόσο θετικοί ή αρνητικοί θα είναι. Και αυτές οι εξισώσεις εξαρτώνται από τη διάθεση των ατόμων όταν είναι μόνοι τους, τη διάθεση των ατόμων όταν είναι με τον σύντροφό τους, αλλά πιο σημαντικό, εξαρτώνται από το πόσο ο σύζυγος και η σύζυγος επηρεάζουν ο ένας τον άλλον.

Αλλά ο πραγματικά σημαντικός όρος σε αυτή την εξίσωση είναι η επιρροή που έχουν μεταξύ τους οι άνθρωποι, και συγκεκριμένα, κάτι που ονομάζεται το κατώφλι της αρνητικότητας. Το κατώφλι της αρνητικότητας, μπορείτε να το σκεφτείτε ως το πόσο ενοχλητικός μπορεί να είναι ο σύζυγος πριν αρχίσει να τσαντίζεται πραγματικά η σύζυγος, και το αντίθετο. Πάντα πίστευα ότι οι καλοί γάμοι είχαν να κάνουν με τον συμβιβασμό και την κατανόηση και το να επιτρέπουμε στον άλλον να έχει χώρο να είναι ο εαυτός του. Θα πίστευα ότι ίσως οι πιο επιτυχημένες σχέσεις ήταν αυτές με πολύ υψηλό κατώφλι αρνητικότητας. Όπου τα ζευγάρια το άφηναν να περάσει έτσι και ανέφεραν κάτι μόνο αν πίστευαν ότι ήταν πολύ σημαντικό. Στην πραγματικότητα όμως, τα μαθηματικά και τα επακόλουθα ευρήματα της ομάδας έδειξαν ότι αληθεύει ακριβώς το αντίθετο. Τα καλύτερα ζευγάρια, ή τα πιο επιτυχημένα ζευγάρια, είναι αυτά με πολύ χαμηλό κατώφλι αρνητικότητας. Είναι τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τίποτα να περάσει απαρατήρητο και επιτρέπουν ο ένας στον άλλον να έχει χώρο για παράπονα. Είναι τα ζευγάρια που συνεχώς προσπαθούν να διορθώσουν τη σχέση τους, που έχουν μια πολύ θετικότερη εικόνα για τον γάμο τους. Τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τίποτα να περάσει και τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τα μικροπράγματα να γίνουν πολύ σημαντικά.

Αυτές είναι οι τρεις συμβουλές μου για το πώς τα μαθηματικά μπορούν να βοηθήσουν με την αγάπη και τις σχέσεις. Αλλά ελπίζω ότι εκτός από τη χρήση τους ως συμβουλές, θα σας δώσουν και λίγη γνώση σχετικά με τη δύναμη των μαθηματικών. Επειδή για μένα, οι εξισώσεις και τα σύμβολα δεν είναι απλώς ένα πράγμα. Είναι μια φωνή που μιλά για τον απίστευτο πλούτο της φύσης και την εντυπωσιακή απλότητα στα μοτίβα που μας περιτριγυρίζουν, από το πώς λειτουργεί ο κόσμος έως πώς θα πρέπει να συμπεριφερόμαστε. Ελπίζω ότι ίσως για μερικούς από σας, λίγη γνώση για τα μαθηματικά της αγάπης μπορεί να σας πείσει να έχετε λίγη περισσότερη αγάπη για τα μαθηματικά. Σας ευχαριστώ. (Χειροκρότημα)

_______________________

H δρ Xάνα Φράι είναι μαθηματικός στο UCL, στο Κέντρο Χωρικής Ανάλυσης (CASA). Στη δουλειά της χρησιμοποιεί τα μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να μελετήσει τα μοτίβα της ανθρώπινης συμπεριφοράς, από τις επαναστάσεις και την τρομοκρατία μέχρι το εμπόριο και τις καθημερινές μας αγορές.

Παράλληλα με την ακαδημαϊκή θέση της, είναι πρέσβειρα του UCL, μεταφέροντας έτσι την απόλαυση των μαθηματικών από τα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα σε θέατρα, μπαρ και σχολεία. Είναι επίσης συμπαρουσιάστρια στο Υoutube Channel του BBC Worldwide και εμφανίζεται τακτικά στην τηλεόραση και το ραδιόφωνο στη Μεγάλη Βρετανία.

by Αντικλείδι , https://antikleidi.com

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -