Ένας μοναχός μαθηματικός που άλλαξε τον κόσμο. Ο Luca Pacioli και η Summa του

LucaPacioliSumaΟ μαθηματικός, περί τού όποίου πρόκειται τώρα νά όμιλήσωμεν, έγεννήθη άπό ταπεινήν οικογένειαν, περί τό 1445, εις τό Borgo S. Scpolcro (Umbria). Τούτο Εξηγεί διατί συχνά άποκαλείται λατινικά Lucas de Burgo.


Νεαρός άκόμη μετέβη είς Βενετίαν ύπό τήν ιδιότητα οικοδι­δασκάλου καί ακριβώς εις τόν οικοδεσπότην του άφιέρωσεν (1470) ένα έγχειρίδιον άλγέβρας, τού όποίου έχάθησαν τελείως τά ίχνη. Είς τήν Βενε­τίαν περιεβλήθη τό ένδυμα τού Αγίου Φραγκίσκου καί Ενετάχθη είς τήν οικογένειαν τών «Ελασσόνων». Αφού συνεπλήρωσε τήν Εκπαίδευσίν του εις τήν θεολογίαν καί φιλοσοφίαν, ο fra Luca ήρχισε νά περιηγήται τήν Ιταλίαν, ώς εάν ήτο τιτλούχος μιάς περιοδευούσης καθηγητικής έδρας τών μαθηματικών. Τό 1475 Εκλήθη είς Perugia ώς δημόσιος Εκπαιδευτικός λειτουργός είς τά μαθηματικά. Κατά τήν διάρκειαν τής τριετούς παραμονής του εις τήν πόλιν αυτήν συνέγραψε δεύτερον βιβλίον, τό οποίον άφιέρωσεν είς τούς μαθητάς του καί τό όποιον ύφίσταται μέχρι σήμερον χειρόγραφον είς την βιβλιοθήκην τού Βατικανού.

Κατόπιν τόν εύρίσκομεν έπ’ όλίγον είς τήν Βενετίαν καί κατόπιν εις τήν Zara, όπου έγραψεν (1481) ένα άλλο παρόμοιο έργον. Κατέλιπεν ένθύμια τής διαβάσεώς του εις τήν Φλωρεντίαν (1487) καί έπειτα έπέστρεψεν είς Perugia. ’Αλλά μετ’όλίγον μετέβη είς τήν Ρώμην (1489) Οπό τήν ιδιό­τητα βοηθού καθηγητού (Lettore alia Sapienza). Ούτε όμως καί έδώ παρέμεινεν έπί μακρόν, λόγφ προστριβών μέ τούς άνωτέρους του. Έπειτα άπό βραχείαν παραμονήν είς Νεάπολιν, μετέβη καί πάλιν είς Βενετίαν (1496) καί μετά δύο έτη, κατόπιν προσκλήσεως του Λουδοβίκου Σφόρτσα (τού έπιλεγομένου Μαύρου), είς τό Μιλάνον. Όταν ό ήγεμών ούτος άπώλεσε τήν έξουσίαν μέ τήν άφιξιν τών Γάλλον, ό fra Luca κατέφυγεν είς Φλωρεντίαν μετά τού Leonardo da Vinci, μέ τόν όποιον. όπως είπομεν καί άλλοτε, συνεδέετο μέ Αδελφικήν φιλίαν. Κατά τήν περίοδον 1500- 1506 έχρημάτισε καθηγητής τοΟ Δημοσίου είς Πίζαν (όπου ή καθηγητική έδρα ίδρυθη Απο­κλειστικές δι αύτόν),είς Βολωνίαν, είς Βενετίαν έκ νέου (1508), είς Perugia (1510) καί είς Ρώμην (1514). Πιθανές άπέθανεν εις τήν πόλιν αυτήν μετά τήν 30ην Αυγούστου 1514, άγνωστον πότε ακριβώς.accountingcycleΉ μεγάλη φήμη τού Luca Pacioli στηρίζεται πρό πάντων έπι τής μνημειώδους μαθηματικής εγκυκλοπαίδειας, τής όποιας ό πλήρης τίτλος είναι : Summa di Aritmetica, Geometria. Proportioni et proportio­nalita καί κατά συγκοπήν Summa (ουσιώδες σύνολον). Είναι τό πρώτον έργον τού είδους του, που έξεδόθη διά τού τύπου (1η έκδοσις : Venezia 1494 2α έκδοσις : Tusculano sul Lago di Garda 1523), καί είς τήν ευτυχή αυτήν συγκυρίαν όφείλει έν μερει τήν τεραστίαν του διάδοσιν·. Είναι δέ έμπνευσμένον από τήν Ιδέαν (έφαρμοσθεΐσαν άλλωστε είς προγενέστερα έργα αντι­λόγου περιεχομένου) τής προσεγγίσεως ή καλύτερα συγχωνεύσεως τής θεωρίας καί τής πράξεως καί άπό τόν θαυμασμόν διά «τήν εύρείαν γενικό­τητα τών μαθηματικών, χάρις είς τήν όποιαν δύνανται νά εφαρμόζονται έπί παντός είδους πραγμάτων».

Καί ακριβώς διά νά έξασφαλίση είς τό έργον του τήν μεγαλυτέραν δυνατήν διάδοσιν μεταξύ όλων τών κοινωνικών τάξεων ό fra Luca άπεφάσισε νά έγκαταλείφη τό λατινικόν ένδυμα χάριν τής δημοτικής γλώσσης. ’Αλλά δέν έπέτυχε τόν σκοπόν του παρά μόνον έν μέρει, διότι είς τήν πρα­γματικότητα έχρησιμοποίησεν άναμίξ λέξεις λατινικός καί έλληνικάς. έτι δέ ιδιωματικούς τρόπους έκφράσεως. τούς όποιους έμαθεν είς τάς δια­φόρους πόλεις όπου διέμεινε. Τό προελθόν ετερόκλητον ύφος τού λόγου έπλήγωσε τήν ευαισθησίαν τού γνωστοτάτου λογίου άνδρός Annibal Caro, o όποίος παρωμοίασε τήν Summa πρός τά «χωνευτήρια τών χρυσοχόων. όπου τά μόρια τού χρυσού άναδύονται είς τό φώς διά μέσου τεφρών καί σκωριών, ύπό τάς όποιας είναι τεθαμμένον τό πολύτιμον μέταλλον». Μία γνώμη όχι πολύ διάφορος τής διατυπωθείσης ύπό τού καλυτέρου βιογράφου τού Pacioli — έννούμεν τόν Bernardino Baldi — ό όποίος παρετήρησεν ότι «ή γλώσσα τού βιβλίου είναι βαρβαρίζουσα, άρρυθμος, χονδροειδής καί άτυχής, προκαλούσα ναυτίαν είς έχει νους πού μελετούν τό περιεχόμενον». Τό δέ γεγονός ότι ένας μαθηματικός τής άξίας του Federico Commandino είχε συλλάβει τήν πρόθεσιν ν’άνατυπώση τήν Summa, άφού προηγουμένως βελτίωση τήν γλώσσαν του κειμένου, άποδεικνύει ότι αί κριτικοί έκεΐναι δέν ήσαν άπόρροια φανατικής προσηλώσεις είς τήν καθα­ρεύουσαν.

Ό fra Luca δέν παρουσιάζεται ώς πρωτότυπος συγγραφεύς. ’Ανα­γνωρίζει ότι ήντλησεν έλευθέρως από τό Liber Abbaci, δηλώνων μάλιστα, ότι άντέγραψεν όλοκλήρους σελίδας χωρίς νά κάμη Ιδιαιτέραν ένδειξιν. Επι πλέον δέν άρνείται ότι ευρύτατα ώφελήθη από τά έργα τού Εύκλείδου, τού Βοηθίου, toυ Giordano (Nemorario), τού Biagio da Parma (Pelacani), τού Sacrobosco, τού Prosdocimo di Beldomani, τού Bradwardin, τού Regio- montano καί τού Alberto di Sassonia, ώς καί τών έξοχωτέρων άράβων άλγεβριστών.

Πρωτοτυπώτατος είναι όμως ό ιδικός του τρόπος τού γράφειν, διότι είναι άκριβώς αντίθετος τού γενικώς νομιζομένου σήμερον ώς όρθοδόξου. Ένω, πράγματι, παραλείπει σαφείς καί ακριβείς όρισμούς τών έννοιών του, αίφνιδίως παρεμβάλλει είς τάς άναπτύξεις θεωρητικού χαρακτήρος έξωμαθημαπκάς σκέψεις, τάς όποιας έμπνέεται άπό Αρχαίους συγγραφείς, έπί κεφαλής τών όποίων εύρίσκεται ό Πλάτων, «ό Αρχιμανδρίτης τών φιλοσοφούντων», αύτοβιογραφικάς σημειώσεις. Ιστορικά δεδομένα, πληρο­φορίας έπί τών έν χρήσει νομισματικών μονάδων καί τών έμπορικών συνη­θειών, παροιμίας, φράσεις άλλων είς πεζόν ή ποιητικόν λόγον. Συνεπώς ή Summa θά ήδύνατο νά ληφθή ώς ύπόδειγμα άπό τούς διδασκάλους έκείνους τών μαθηματικών, οί όποίοι ζητούν πώς νά καταστήσουν έλκυστικήν κάί εύχάριστον μίαν έπιστήμην, θεωρουμένην δυσπρόσιτον καί ξηράν είς τούς πολλούς.

Σπεύδομεν νά δηλώσωμεν ότι πολλαί έξωμαθηματικαί παρεκβάσεις τού Pacioli, δέν θά ήδύναντο σήμερον νά έκτεθούν άπό ένα σοβαρόν δι­δάσκαλον. Είς τήν σχολαστικήν κενολογίαν άνήκουν π.χ. αί θεωρίαι, μέ τάς όποίας ο Pacioli διανθίζει τό βιβλίον του γύρω άπό τήν έννοιαν τού τελείου άριθμού, καί είς τήν έκπνέουσαν κοσμοθεωρίαν τών νεοπυθαγορείων αί παρατηρήσεις βάσει τών όποίων, ώς διατείνεται, ύπάρχει στενός σύν­δεσμος μεταξύ τών ιδιοτήτων τού 5 καί τής ύποστάσεως τών κανονικών πολυέδρων, ώς καί μεταξύ τών χαρισμάτων του 7 καί τών μυστηρίων τής δημιουργίας. Τι πρέπει κατόπιν νά είπωμεν διά τήν σοβαρόν Αμηχανίαν, είς τήν όποίαν περιέρχεται ό συγγραφεύς έν τή έπιθυμία του ν’ αποκαταστήση τήν συμφιλίωσιν μεταξύ τής βιβλικής ρήσεως «αύξάνεσθε καί πληθύνεσθε» καί τού γεγονότος ότι ό πολλαπλασιασμός Ακεραίου έπί κλάσμα Αποδίδει έξαγόμενον μικρότερον τού πολλαπλασιαστέου !

Leonardo_polyhedraΑς έλθωμεν τώρα είς λεπτομέρειας περισσότερον συγκεκρι­μένος, Ή Summa άποτελεΐται από δύο μέρη, έκ τών όποίων τό ένα αφιερούται είς τήν τέχνην καί τήν έπιστήμην του λογισμού, τό αλλο είς τήν γεωμετρίαν. Καί τό ένα καί τό άλλο ύποδιαιρεί ό συγγραφεύς εις διακρίσεις (distinzioni), πραγματείας (trattati) καί άρθρα (articoli).

Τό Μέρος I Αρχίζει μέ μίαν θεωρητικήν ανάπτυξιν τής αριθμητικής, συμφώνως πρός τάς Ιδέας τού Νικομάχου του Γερασηνού καί τού Θέωνος τού Σμυρναίου. Ό Pacioli φαίνεται νά πιστεύη ότι οί τέλειοι Αριθμοί του Εύκλείδου είναι όλοι οι δυνατοί τέλειοι καί παρατηρεί ότι ούτοι καταλήγουν έναλλάξ είς τά ψηφία 6 καί 8, ώς προκύπτει από ένα παρατιθέμενον ύπό του Ιδιου μικρόν πίνακα τοιούτων αριθμών.

‘Ακολουθεί ή λύσις μερικών προβλημάτων απροσδιορίστου άναλύσεως, τά όποια, όπως δύναται νά συμπεράνη κανείς από τάς έκτιθεμένας ιδιό­τητας τών «ισοδυνάμων» αριθμών, πηγήν τής έμπνεύσεως των έχουν τό Liber Quadratorum του Λεονάρδου Πιζάνο. ‘Ως γέφυρα έπικοινωνίας μεταξύ τής έκτιθεμένης θεωρίας καί τών πρακτικου χαρακτήρος έφαρμογών ύπεισέρχεται ή έκθεσις του δεκαδικού Αριθμητικού συστήματος (τό όποιον ό fra Luca Αποδίδει είς τούς Άραβας) ώς καί μία προφανής μετάληψις έκ τού έργου τού Beda (§ 109), άφορώσα τήν διάλεκτον τών δακτύ­λων (loquela digjtorum)·.

Ακολουθούν οί κανόνες τών ύπολογισμών μέ ακεραίους αριθμούς. Σημειούται ότι ό συγγραφεύς Απομακρυνόμενος τού Sacrobosco καί τού Beldomandi καί ακολουθών μάλλον τό παράδειγμα τής Αριθμητικής τού Treviso, απαλείφει άπό τόν κατάλογον τών Αριθμητικών πρά­ξεων (§ 173) τήν ήμιάθροισιν (mediatio) καί τόν διπλασιασμόν (duplatio), όρθώτατα παρατηρών οτι πρόκειται περί μερικών περιπτώσεων τής διαιρέσεως καί τού πολλαπλασιασμού.

Η εικόνα είναι από το Summa Arithmetica του Pacioli (1532) και παρουσιάζει τη μέθοδο αρίθμησης με τα δάκτυλα. Στην εικόνα βλέπουμε ότι τους αριθμούς μέχρι το 100 τους σχημάτιζαν με το αριστερό χέρι ενώ τους μεγαλύτερους με το δεξί

Η εικόνα είναι από το Summa Arithmetica του Pacioli (1532) και παρουσιάζει τη μέθοδο αρίθμησης με τα δάκτυλα. Στην εικόνα βλέπουμε ότι τους αριθμούς μέχρι το 100 τους σχημάτιζαν με το αριστερό χέρι ενώ τους μεγαλύτερους με το δεξί

Άλλο σημείον αξιόν σημειώσεως είναι ότι δια τήν έκτέλεσιν του πολλαπλασιασμού διδάσκει τούλάχιστον 8 τρόπους, έκ τών όποίων οί πλειστοί περιέχονται εις τήν Αριθμητικήν τού Treviso. Περισσοτέρους τού ένός τρόπους διδάσκει έπίσης καί διά τήν διαίρεσιν. Διά τόν έλεγχον τής ακρίβειας τών αποτελεσμάτων, συνιστή τήν βάσανον διά του 7, παρατηρών ότι ή διά τού 9 δέν είναι άσφαλής. διότι δέν έπηρεάζεται έκ τής παραλείψεως μηδενικών. ούτε έκ τής άντιμεταθέσεως ψηφίων είς τούς δοθέντας άριθμούς.

Τά κλάσματα γράφονται μέ τόν τρόπον πού είναι έν χρήσει σήμερον, δηλαδή μέ τόν «άριθμητήν» ύπεράνω του «παρανομαστου», χωριζομένους μέ μίαν μικράν όριζοντίαν γραμμήν, ή όποία έκαλείτο «ρίγα» (riga). Εξετά­ζονται περαιτέρω τά συνεχή άνιόντα κλάσματα καί δίδονται κανόνες μετάτροπής ένός κοινού κλάσματος είς κλάσμα τοιαύτης μορφής.

’Ακολουθούν οΐ κανόνες ύπολογισμού τού άθροίσματος όρων άριθμητικής καί γεωμετρικής προόδου, μέ τήν στερεότύπον έφαρμογήν πού συν­δέεται μέ τά 64 τετραγωνίδια τού ζατρικίου (σκάκι), μέ τό ύπολογισμόν του άθροίσματος ώρισμένου άριθμου όρων τής φυσικής σειράς 1,2,……………ή τών τετραγώνων ή τών κύβων αυτών. ‘Αρυόμενος τάς έμπνεάσεις του άπό τόν Fibonacci, ο Pacioli διδάσκει διαφόρους έφαρμογάς τής μεθόδου τής αυθαι­ρέτου άφετηρίας (Reguia falsi), υπό τόν άνατολικόν όρον “el cauym”. πού έχομεν ήδη συναντήσει εις τό Liber Abbaci (§ 161).

Μέγας άριθμός σελίδων τής Summa άφιερούται είς έφαρμογάς τής άριθμητικής είς διαφόρους τύπους συμφωνιών, ύπό τήν προύπόθεσιν ότι χρησιμοποιούνται τά παντός είδους νομίσματα πού είχον ίσχύν είς τά διά­φορα κρατίδια, είς τά όποια ήτο τότε διηρημένη ή Ιταλία. Πολλαί άναπτύξεις άφιερώνονται είς τήν διπλογραφίαν (partita doppia), σύστημα ευρύ­τατα έφαρμοζόμενον είς τήν ’Ιταλίαν άπό τών άρχών του XV αίώνος καί είδικώτερον είς τά μεγάλα έμπορικά κέντρα τής Γένοβας καί τής Βενετίας. Αί σελίδες μάλιστα αύταί τής Summa συνετέλεσαν ώστε ν’ άναγνωρισθή γενικώς ό Pacioli ώς μία αυθεντία είς τόν τομέα τής λογιστικής. Πράγμα έπιβεβαιούμενον άλλωστε καί άπό τούς κανόνας, τούς όποιους διδάσκει πρός κατασκευήν πινάκων διά τόν ταχύν ύπολογισμόν τών τόκων, πρός μεγίστην έξυπηρέτησιν τών σχετικών άναγκών, λίαν αισθητών άπό τής έποχής έκείνης.

Μεταξύ άλλων, πραγματεύεται καί τό άκόλουθον πρόβλημα : «νά μοιρασθή άκριβοδικαίως μεταξύ δύο παικτών ή «πόστα», είς τήν περίπτωσιν, καθ’ ήν τό παιγνίδι (partita) διακοπή». “Αν καί τό άποτέλεσμα είς τό όποΐον καταλήγει δέν φαίνεται σήμερον παραδεκτόν, έν τούτοις τό πρόβλημα τούτο παρουσιάζει τόν Pacioli ώς ένα έκ τών πρώτων, πού ήσχολήθησαν μέ τήν θεωρίαν τών πιθανοτήτων.

Άξιόλογον έπίσης είναι ένα άλλο χωρίον τής Summa, είς τό όποίον ό συγγραφεύς θέτει τό ζήτημα : «μετά πόσα έτη θά διπλασιασθή κεφάλαιον άνατοκιζόμενον πρός r%;».

Gino Loria – Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (τόμος 1ος)

by Αντικλείδι , https://antikleidi.com

Luca Pacioli:ο πατέρας της Λογιστικής


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -