O Ζήνωνας ο Ελεάτης(490-430 π.Χ.), μαθηματικός και φιλόσοφος, μεταξύ άλλων είχε γράψει τέσσερα παράδοξα, η αλλιώς “τα παράδοξα της κίνησης”, με τα οποία υποστήριζε την Παρμενίδα θέση, ότι δηλαδή η κίνηση είναι αδύνατη! Εμείς θα ασχοληθούμε με το πιο γνωστό, το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.
Η ιστορία έχει ως εξής: Ο Αχιλλέας και η χελώνα αποφάσισαν να κάνουν έναν αγώνα δρόμου. Για να το κάνουν λίγο πιο ενδιαφέρον όμως, η χελώνα ξεκίνησε σε κάποια απόσταση πιο μπροστά από τον Αχιλλέα, καθώς ο τελευταίος είναι πολύ πιο γρήγορος από αυτήν. Το παράδοξο είναι ότι για όση διάρκεια και να συνεχιστεί ο αγώνας- ο Αχιλλέας δε θα τη περάσει ποτέ.
Πως είναι δυνατό ο Ζήνων να υποστήριξε κάτι τέτοιο;
Αν υποθέσουμε πως η χελώνα ξεκινάει 100m μπροστά από τον Αχιλλέα ο οποίος τρέχει με 10m/s. Έστω η χελώνα κινείται με 1m/s (Οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία αφού υποθέτουμε πως ο αγώνας μπορεί να συνεχίζεται επ’άπειρου).
Επομένως ο Αχιλλέας δε θα προσπεράσει ποτέ τη χελώνα.
Που είναι το λάθος?
Πουθενά μάλλον..!
Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση του Άγγλου μαθηματικού και φιλόσοφου Bertrand Russell στις αρχές του 20ου αιώνα για το πρόβλημα αυτό. Το κύριο σημείο του επιχειρήματος του Russel είναι η ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας. Σε κάθε στιγμή της κίνησής τους ο Αχιλλέας είναι κάπου- το ίδιο και η χελώνα. Δεν είναι δυνατόν για κανέναν τους να βρίσκεται ποτέ δυο φορές στο ίδιο μέρος κατά τη διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων όπου πηγαίνει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που πηγαίνει η χελώνα. Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάσει τη χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε θα ήταν μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο της χελώνας. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από τη χελώνα. Έτσι κατά τον Russell, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το εξής παράδοξο: ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε ο Αχιλλέας είναι ίσος από τον αριθμό των σημείων που πέρασε η χελώνα, και μάλιστα την ίδια στιγμή στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει τη χελώνα, ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος για τον Αχιλλέα! Αυτό όμως είναι μια αντίφαση. Ωστόσο, τα δυο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλαδή τα μέρη τους, αν όχι ίσα, είναι ισοδύναμα.
********
Πηγή: ekivolos.gr
Αντικλείδι , https://antikleidi.com
Συναφές:
“Τα πάντα εξισορροπούνται” ή “Η τύχη δεν έχει μνήμη”
Ο Σέξτος Εμπειρικός και η ατέρμονη παλινδρόμηση της δικαιολόγησης
Το δίλημμα του κρατουμένου και η προστασία του περιβάλλοντος
Ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της σύγχρονης επιστήμης είναι ότι ενώ συνθέτει μια ηγεμονική κουλτούρα,…
Από όλες τις προφητικές γνώσεις που μπορεί να βρει κανείς στο κλασικό μυθιστόρημα του Όργουελ,…
Το 1784, σε ένα δοκίμιό του με τίτλο αυτή την ερώτηση: "Was ist Aufidarung?", ο…
Υπάρχουν δύο απαραίτητα στοιχεία για τη γνώση: το υποκείμενο της γνώσης (ο γνωρίζων, ή ο…
Ένα μικρό αφιέρωμα στον συγγραφέα και ψυχολόγο Daniel Kahneman που διακρίθηκε για το έργο του…
Για κάποιους είναι τόσο εύκολο να ερωτευτούν με μια ιδέα όσο και έναν άνθρωπο. Οι…